Cho đường tròn $(O, R)$. Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $O A=2 R$, kẻ hai tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn ( $B, C$ là các tiếp điểm). Lấy điểm $D$ thuộc cung lớn $BC, BD<DC$  ($D, O, C$ không thẳng hàng); $K$ là giao điểm của $BC$ và $OA$.   a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn.   b) Kẻ $BH$ vuông góc với dây cung $CD$ ($H$ thuộc $CD$), gọi I là trung điểm $BH$; $DI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $N, AN$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$. Chứng minh $AM . AN=3 R^{2}$ và $\widehat{A K N}=\widehat{O N M}$.   c) Chứng minh rằng $AO$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABN$.
Mọi người thân mến, mình rất cần một chút trợ giúp từ Mọi người. Mọi người có thể dành ít phút để giúp mình không?

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{ABN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BN

\(\widehat{BMN}\) là góc nội tiếp chắn cung BN

Do đó: \(\widehat{ABN}=\widehat{BMN}\)

Xét ΔABN và ΔAMB có

\(\widehat{ABN}=\widehat{AMB}\)

\(\widehat{BAN}\) chung

Do đó: ΔABN~ΔAMB

=>\(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AN}{AB}\)

=>\(AB^2=AM\cdot AN\left(1\right)\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (2),(3) suy ra AO là trung trực của BC

=>AO\(\perp\)BC tại K

Xét ΔABO vuông tại B có BK là đường cao

nên \(AK\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)

Từ (1),(4) suy ra \(AK\cdot AO=AN\cdot AM\)

=>\(\dfrac{AK}{AM}=\dfrac{AN}{AO}\)

Xét ΔAKN và ΔAMO có

\(\dfrac{AK}{AM}=\dfrac{AN}{AO}\)

\(\widehat{KAN}\) chung

Do đó: ΔAKN~ΔAMO

=>\(\widehat{AKN}=\widehat{AMO}\)

=>\(\widehat{AKN}=\widehat{OMN}\)

=>\(\widehat{AKN}=\widehat{ONM}\)