Cho các số thực dương a, b, c thõa mãn a+b+c=12. C/m (b+c+6)/(a+6) +(c+a+8)/(b+4) +(a+b+10)/(c+2) >=6
Mọi người ơi, mình đang bí câu này quá, có ai có thể chỉ cho mình cách giải quyết không? Mình sẽ biết ơn lắm!

Lời giải:

Gọi biểu thức vế trái là $A$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$A+3=\frac{a+b+c+12}{a+6}+\frac{c+a+8+b+4}{b+4}+\frac{a+b+10+c+2}{c+2}$

$=(a+b+c+12)(\frac{1}{a+6}+\frac{1}{b+4}+\frac{1}{c+2})$

$\geq (a+b+c+12).\frac{9}{a+6+b+4+c+2}$

$=\frac{9(a+b+c+12)}{a+b+c+12}=9$

$\Rightarrow A\geq 6$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a+6=b+4=c+2$

Kết hợp với $a+b+c=12$ suy ra $a=2; b=4; c=6$