Cho A = 2/3^2 + 2/5^2 + 2/7^2 +...+ 2/2017^2. Chứng minh rằng A < 504/1009
Làm ơn, ai đó có thể chia sẻ kinh nghiệm hoặc ý tưởng để mình có thể vượt qua câu hỏi này không? Thanks mọi người.

Để chứng minh rằng A < 504/1009, ta sẽ sử dụng dạng tổng của một dãy số hình học.

Gọi S = 2/3^2 + 2/5^2 + 2/7^2 +...+ 2/2017^2

Ta có thể viết lại S dưới dạng tổng của một dãy số hình học như sau:
S = 2(1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 +...+ 1/2017^2)

Công thức tổng của dãy số hình học là:
S = a / (1 - r)

Trong đó,
- a là phần tử đầu tiên của dãy số hình học
- r là công bội của dãy số hình học

Ở đây, a = 1/3^2 = 1/9 và r = 1/5^2 = 1/25

Vậy, S = 2(1/9) / (1 - 1/25) = 18/24 = 3/4

Ta cần so sánh S với 504/1009:
3/4 = 0.75 < 504/1009 ≈ 0.5

Do đó, ta kết luận được rằng S < 504/1009, hay A < 504/1009.

Vậy ta đã chứng minh được rằng A < 504/1009.

Dùng công thức biểu diễn tổng của dãy số mũ 2, ta có A < 2(π²/6 - 1) < 504/1009.

Kết hợp với n² < 1009², ta suy ra A < 2(1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 +...+ 1/1008^2).

Với mỗi phần tử 2/(2n+1)^2, ta có: 2/(2n+1)^2 < 2/(2n)(2n+1) = 1/n^2.