Câu 2 (1 điểm). Cho hình chóp $S.A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $S A$ vuông góc với đáy, $S C$ tạo với mặt phẳng $(S A B)$ một góc $30^{\circ}$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$.
Mọi người ơi, mình đang rối bời không biết làm thế nào ở đây. Bạn nào đi qua cho mình xin ít hint với!

Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng phương pháp tính thể tích khối chóp bằng cách tính diện tích đáy nhân chiều cao.

Cách 1: Tính thể tích khối chóp bằng cách tính diện tích đáy và chiều cao

Đầu tiên, ta cần tìm chiều cao của khối chóp. Gọi $H$ là hình chiếu của đỉnh $S$ xuống đáy $ABCD$. Khi đó, $H$ nằm trên đường thẳng $SC$ và tạo với mặt phẳng đáy một góc vuông.

Gọi $O$ là trung điểm của đoạn $AB$, ta có $SA = \sqrt{2} \cdot OA = \sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra, $SH = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \tan{30^\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Do đó, diện tích đáy $SABCD = a^2$ và thể tích khối chóp $S.ABCD = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot \text{chiều cao} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a^3\sqrt{3}}{18}$.

Vậy, thể tích khối chóp là $\frac{a^3\sqrt{3}}{18}$.

Cách 2: Sử dụng vector để tính thể tích khối chóp

Gọi $\textbf{u}$ là vector đại diện cho đoạn $SA$ và $\textbf{v}$ là vector đại diện cho đoạn $SC$. Ta có $\textbf{u} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \hat{i}$ và $\textbf{v} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \hat{i} + \frac{a}{2} \hat{j}$.

Khi đó, vector chiều cao của khối chóp là $\textbf{h} = \textbf{v} - \textbf{u} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \hat{i} + \frac{a}{2} \hat{j} - \frac{a\sqrt{2}}{2} \hat{i} = \frac{a}{2} \hat{j}$.

Thể tích khối chóp bằng nửa của module của tích vô hướng của vector chiều cao với vector đáy: $V = \frac{1}{2} |\textbf{h} \cdot \textbf{AB}| = \frac{1}{2} \cdot |\frac{a}{2} \cdot a| = \frac{a^2}{4}$.

Vậy, thể tích khối chóp là $\frac{a^2}{4}$.