Cho tam giác ABC trên cạnh AB,AC lấy M,N sao cho AM/AB=AN/AC chứng minh AM/MB=AN/NC và MB/AB=NC/AC
Mọi người ơi, mình đang vướng mắc một chút, có ai có kinh nghiệm có thể chỉ giáo mình cách giải quyết câu hỏi này không?

Để chứng minh AM/MB=AN/NC và MB/AB=NC/AC, ta có thể sử dụng định lí phân đôi dài (hay định lý Thales) để giải quyết bài toán này.

Phương pháp giải:

Gọi E là giao điểm của tia phân giác trong tam giác ABC với đoạn thẳng MN. Khi đó, theo định lý Thales trong tam giác AME và tam giác ANE, ta có:
AM/AB=AN/AC=AE/AE (do E nằm trên tia phân giác BE)

Do đó, ta có AM/AE=AB/AE và AN/AE=AC/AE. Từ đó điều chỉnh ta được:
AM/AB=AE/AB và AN/AC=AE/AC

Khi đó, theo định lý phân đôi dài, ta có:
AM/MB=AE/EB và AN/NC=AE/EC.

Từ định lý phân đôi dài, ta có MB/EB=NC/EC. Từ đó, ta suy ra được:
AM/MB=AN/NC và MB/AB=NC/AC

Vậy ta đã chứng minh được AM/MB=AN/NC và MB/AB=NC/AC.

Gọi AM=k, ta có AB=k(1/AN), suy ra AM/MB=AN/NC theo định lý tỉ số chia đôi.

Do AM/AB=AN/AC, suy ra AM=AB(AN/AC). Từ tam giác AMB và ANC suy ra AM/MB=AN/NC.

Ta có AM/AB=AN/AC, suy ra AM+AN=AB+AC. Áp dụng định lý giao điểm của 2 tia trong tam giác ta có AM/MB=AN/NC.

Áp dụng định lý thales: AM/AB=AN/AC= (AM+AN)/(AB+AC)=AMN/ABC, suy ra AM/MB=AN/NC.