Biết f(x)=x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R giá trị của \(\int\limits^2_1\left[2+f\left(x\right)\right]dx\)  bằng A. 5 B. 3 C. \(\dfrac{13}{3}\) D. \(\dfrac{7}{3}\)
Ah, tôi đang bí cách làm quá, có ai đó giúp tôi làm bài này được không? ?"

Để tính giá trị của \(\int\limits^2_1\left[2+f\left(x\right)\right]dx\), ta cần tính giá trị của \(f(x)\) trong khoảng [1, 2].

Vì \(f(x) = x^2\), ta thấy rằng hàm số \(f(x)\) là một hàm số bậc hai, mở lên. Vì vậy, diện tích dương phần giữa đồ thị của \(f(x)\) và trục Ox trong khoảng [1, 2] sẽ có giá trị là diện tích dưới đồ thị của hàm số \(f(x)\) trong khoảng [1, 2].

Để tính diện tích dưới đồ thị của \(f(x)\) trong khoảng [1, 2], ta tính tích phân \[\int^2_1 f(x) dx.\]

Theo công thức tính tích phân của hàm số bậc 2, ta có: \[\int^2_1 f(x) dx = \frac{1}{3} [f(x)]^3|^2_1 = \frac{1}{3}[2^3 - 1^3] = \frac{7}{3}.\]

Do đó, giá trị của \(\int\limits^2_1\left[2+f\left(x\right)\right]dx\) là \(\frac{7}{3}\).

Vậy câu trả lời cho câu hỏi là: C. \(\frac{7}{3}\).

{"content1": "Để tính giá trị của \(\int\limits^2_1 [2+f(x)]dx\), ta cần tính \(\int\limits^2_1 2dx\) và \(\int\limits^2_1 f(x)dx\).",
"content2": "Do hàm số \(f(x) = x^2\) là một nguyên hàm của chính nó trên \(\mathbb{R}\), ta có \(\int\limits^2_1 f(x)dx = F(2) - F(1)\), với \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\).",
"content3": "Áp dụng công thức tích phân cơ bản, ta có \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + C\), với \(C\) là hằng số. Vậy, giá trị của \(\int\limits^2_1 f(x)dx\) là \(\left(\frac{1}{3}(2)^3 + C\right) - \left(\frac{1}{3}(1)^3 + C\right)\)." }