Cho góc vuông $xOy$. Lấy các điểm $I$ và $K$ lần lượt trên tia $Ox$ và tia $Oy$. Vẽ đường tròn tâm $I$ bán kính $OK$ cắt tia $Ox$ tại $M$ ($I$ nằm giữa $O$ và $M$). Vẽ đường tròn tâm $K$ bán kính $OI$ cắt tia $Oy$ tại $N$ ($K$ nằm giữa $O$ và $N$).
a) Chứng minh hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ luôn cắt nhau.
b) Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(I)$ và tiếp tuyến tại $N$ của đường tròn $(K)$ cắt nhau tại $C$. Chứng minh tứ giác $OMCN$ là hình vuông.
c) Gọi giao điểm của hai đường tròn $(I)$, $(K)$ là $A$ và $B$. Chứng minh ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
d) Giả sử $I$ và $K$ theo thứ tự di động trên các tia $Ox$ và $Oy$ sao cho $OI + OK = a$ (không đổi). Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.
Hey các Bạn, tôi đang mắc kẹt ở đây rồi. Có ai đó có thể giúp tôi một tay được không? Mọi sự giúp đỡ sẽ được đánh giá cao!
Các câu trả lời
Câu hỏi Toán học Lớp 9
Câu hỏi Lớp 9
Bạn muốn hỏi điều gì?
Đỗ Minh Đức
Phương pháp giải:a) Ta có hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ có tâm lần lượt là $I$ và $K$, bán kính lần lượt là $OK$ và $OI$. Đường tròn $(I)$ cắt tia $Ox$ tại $M$ và đường tròn $(K)$ cắt tia $Oy$ tại $N$. Khi đó, ta có tam giác $IKO$ vuông tại $O$, suy ra $IMKO$ cũng là tứ giác nội tiếp. Vì vậy, tứ giác $IMKO$ chắc chắn tồn tại và hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ luôn cắt nhau.b) Ta có hai tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(I)$ và tại $N$ của đường tròn $(K)$. Gọi $P$, $Q$ là điểm cắt của hai tiếp tuyến đó. Do $IM \perp MP$ và $KN \perp NQ$ nên $IM \parallel KN$. Ta có $OM = OK$ và $ON = OI$ nên tứ giác $OMCN$ là hình vuông.c) Gọi $A$ là giao điểm của $(I)$ và $(K)$. Ta có $OA = OB$ do là bán kính của đường tròn cùng tâm $O$. Vì $M$ là tiếp điểm của $(I)$ nên $\angle OAM = 90^\circ$, tương tự $\angle OBN = 90^\circ$. Do đó, $A$, $B$, $C$ thẳng hàng trên đường thẳng $OC$.d) Ta có $OI + OK = a$. Gọi $B'$ là giao điểm của $MK$ và $ON$. Ta có $\triangle OMB' \cong \triangle OIA$ (cạnh góc cạnh) nên $OA = OB'$ và $OB' = OK + KN = OK + ON = a$. Do đó, $B'$ trùng với $B$, tức là đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định, đó là $O$. Vậy đây là phương pháp giải và câu trả lời cho câu hỏi trên.
Đỗ Hồng Việt
{ "content1": "a) Ta có góc $MOK = 90^o$ vì $I$, $K$ là tâm của hai đường tròn. Do đó, ta có $OM = OK$. Khi đó, hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ luôn cắt nhau.", "content2": "b) Gọi $P$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(I)$ và tiếp tuyến tại $N$ của đường tròn $(K)$. Khi đó, ta có tứ giác $OMCN$ là hình vuông vì $OM = OK$ và $ON = OI$.", "content3": "c) Ta có $IMA = INK = 90^o$ (góc nội tiếp). Do đó, tứ giác $IMAN$ là tứ giác nội tiếp. Khi giao điểm của $AI$ và $BK$ là $C$, ta có ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng theo định lý góc nội tiếp.", "content4": "d) Gọi $G$ là giao điểm của $AB$ và $MN$. Ta có $OMCN$ là hình vuông nên $OM$ đi qua trung điểm của $CN$. Khi $OI + OK = a$ (không đổi), ta thấy $OA = OB = \frac{a}{2}$ và $OG = \frac{a}{2}$. Do đó, ta suy ra đường $AB$ luôn đi qua điểm $G$, một điểm cố định.", "content5": "a) Do $IM = KM$ và $IN = KN$, ta thấy $IM = IM$, $IK = IK$, nên hai tam giác $IMK$ và $INM$ đồng dạng. Khi đó, ta có $\angle KIM = \angle MIN$. Vậy hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ luôn cắt nhau.", "content6": "b) Vì $OM = OK$ và $ON = OI$, ta có tứ giác $OMCN$ là hình vuông. Ngoài ra, ta có $OI = OK$, $IM = MK$, $IN = NK$ nên tứ giác $IMNK$ là hình thoi. Kết hợp hai điều trên, ta chứng minh được tứ giác $OMCN$ là hình vuông."}