Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$, cho điểm $M(-1 ; 1)$ và đường thẳng $\Delta: 3 x-4 y-3=0$. a) Viết phương trình đường thẳng qua $M$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(4 ;-2)$. b) Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$. c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $K(-1 ; 2)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$.
Mình cảm thấy thực sự bế tắc lúc này và rất cần một ai đó hỗ trợ. Mọi người có thể dành chút thời gian giúp mình không? Xin lỗi nếu mình làm phiền Mọi người.

Để giải câu hỏi trên, ta thực hiện các bước sau:

a) Để viết phương trình đường thẳng qua điểm $M$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{u}=(4 ;-2)$, ta có công thức chung:
$\begin{cases} x=x_0+4t\\ y=y_0-2t \end{cases}$ với $(x_0, y_0)$ là tọa độ của điểm $M$. Thay vào ta được phương trình đường thẳng cần tìm.

b) Để tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$, ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
$d=\frac{|3(-1)-4(1)-3|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}$

c) Để viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $K(-1 ; 2)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$, ta sử dụng tính chất của vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc nhau: Nếu $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, thì tích vô hướng của chúng bằng 0. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng cần tìm.

Câu trả lời:
a) Phương trình đường thẳng qua điểm $M$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{u}$ là: $x=-1+4t; y=1-2t$
b) Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là $\frac{11}{5}$
c) Phương trình tổng quát đường thẳng qua $K(-1 ; 2)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ là $4x+3y-10=0$

Để chứng minh $OM = ON$, ta có thể sử dụng định lý Euclid trong tam giác vuông. Dưới đây là phương pháp giải chi tiết:

Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.
Ta có tam giác $AEO$ và tam giác $CEO$ đều với $AE = EC$ (do $AE = AD$ và $EC = BC$) và $\angle AEO = \angle CEO = 60^\circ$.
Do đó, ta có $AO = CO = EO$.
Tương tự, ta có $BO = DO = EO$.
Kết hợp hai điều trên, ta có $OM = ON$.

Vậy, $OM = ON$.