Bài 2. (1 điểm) Cho đoạn $A=\left[ -1;2 \right]$ và nửa khoảng $B=\left( m-1;m+5 \right]$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $A\cap B$ có đúng $4$ phần tử nguyên?
Mọi người ơi, mình cảm thấy loay hoay quá, không biết phải làm sao. Ai có thể chỉ dẫn mình cách giải quyết không?

Để giải bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định khoảng giá trị của m để nửa khoảng B có ít nhất 4 phần tử nguyên.

Nửa khoảng B sẽ có ít nhất 4 phần tử nguyên khi và chỉ khi m+1 ≤ m+5-1, tức là m ≤ 3.

Vậy, khoảng giá trị của m là [-∞, 3].

Bước 2: Xác định các giá trị nguyên của m trong khoảng [-∞, 3] sao cho nửa khoảng B có đúng 4 phần tử nguyên.

Để nửa khoảng B có đúng 4 phần tử nguyên, ta cần m+5-1-(m-1) = 4, tức là 4 = 4.

Vậy, có duy nhất m = 0 thỏa mãn điều kiện trên.

Bước 3: Kết luận

Có duy nhất 1 giá trị nguyên của m trong khoảng [-∞, 3] để A giao B có đúng 4 phần tử nguyên.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là có duy nhất 1 giá trị nguyên của m để A giao B có đúng 4 phần tử nguyên.

Ta có khoảng B từ (m-1, m+5], tức là từ m-1 đến m+5, không tính m-1 nhưng tính m+5. Khoảng A là [-1, 2]. Để A và B có đúng 4 phần tử nguyên chung, ta phải xác định được số giá trị nguyên nằm trong khoảng B thõa mãn điều kiện đề bài. Ta dùng công thức số học để tính số giá trị nguyên trong khoảng B, rồi đếm số giá trị nguyên nằm trong khoảng B mà cũng nằm trong khoảng A.

Để tìm được số giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện đề bài, ta phải tìm số giá trị nguyên nằm trong khoảng (m-1, m+5] sao cho nằm trong đoạn [-1, 2]. Ta có thể dùng phương pháp đếm số giá trị nguyên trong mỗi khoảng và tính tổng số giá trị nguyên trong các khoảng này. Số lượng giá trị nguyên trong mỗi khoảng là độ dài của khoảng cộng 1 (vì còn cả giá trị nguyên m).

Vậy, để A∩B có đúng 4 phần tử nguyên, ta cần tìm các giá trị nguyên m sao cho khoảng (m, m+4] có đúng 4 phần tử nguyên và các phần tử đó thuộc đoạn [-1, 2].

Giá trị nguyên trong khoảng (m-1, m+5] là các số nguyên từ m đến m+4 (vì m+5 là giới hạn trên đóng).