Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số không âm, chứng minh : a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất b) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất
Ai đó có thể tận tình chỉ giáo cho mình cách xử lý câu hỏi này với. Mình thật sự mong muốn lắng nghe những lời khuyên từ các Bạn.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai vector (a, b) và (1, 1) ta có (a + b)^2 <= (a^2 + b^2)(1^2 + 1^2) <=> (a + b)^2 <= 2(a^2 + b^2) <=> 4ab <= 2(a^2 + b^2) <=> 2ab <= a^2 + b^2. Do đó, hình vuông có chu vi bé nhất.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho a và b không âm ta có (a + b)/2 >= sqrt(ab) <=> a + b >= 2sqrt(ab). Do đó, hình vuông có chu vi bé nhất.

Giả sử a > b, ta có a/b > 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có (a + b)^2 <= 2(a^2 + b^2) <=> 4ab <= 2(a^2 + b^2) <=> 2ab <= a^2 + b^2 <=> a^2 + b^2 >= 2ab. Do đó, hình vuông có chu vi bé nhất.

Hình chữ nhật vuông cân là hình chữ nhật có cạnh bằng nhau, tức là hình vuông. Do đó, hình vuông là hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và chu vi bé nhất.

Để chứng minh b) ta giả sử hình chữ nhật có chiều dài là a và chiều rộng là b. Diện tích hình chữ nhật là ab, chu vi là 2(a + b). Ta cần chứng minh 2(a + b) >= 4sqrt(ab). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 2(a + b) >= 4sqrt(ab) <=> a + b >= 2sqrt(ab) <=> sqrt(ab) <= (a + b)/2. Do đó, hình vuông có chu vi bé nhất.