Cho hình chóp S.ABCD có có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC = 120 độ, SA vuông góc với (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 60 độ. K là trung điểm của SC tính d(BK;AD)
Mình đang vướng một chút rắc rối và cần người giúp đỡ. Nhờ mọi người hãy lan tỏa bác ái của mình và giúp đỡ mình trả lời câu hỏi trên mới ạ!

Để giải bài toán trên, ta có thể sử dụng định lí Cosin trong tam giác và định lí hình học về các góc nội tiếp.

Phương pháp 1:
Gọi E là trung điểm của AB và F là trung điểm của CD. Ta có tam giác ABC và ADC là tam giác đều với cạnh đáy là a. Do đó, AB = BC = a và AD = DC = a.
Ta sẽ chứng minh tam giác SBC và SCD đều.
Vì góc ABC = 120 độ nên góc SBA = 60 độ. Do SA vuông góc với ABCD, nên SBA = 90 độ. Từ đó, ta có SBA = SBC = SCB = 90 - 60 = 30 độ.
Mặt khác, góc giữa các mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 60 độ nên góc CSD = 30 độ.
Vậy ta có tam giác SCD đều, từ đó ta suy ra CD = DS = SK.
Do K là trung điểm của SC nên SK = KC
Ta có tam giác SKB vuông tại K nên:
\(cos(\widehat{BKC}) = \frac{BC^2 + KB^2 - CK^2}{2*BC*KB} = \frac{a^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4}}{2*a*\frac{a}{2}} = \frac{\frac{5}{4}a^2}{\frac{a^2}{2}} = \frac{5}{2}\)
Từ đó, ta có \( \widehat{BKC} = arccos( \frac{5}{2}) = 122,59\) độ
Vậy \(d(BK,AD) = 180 - \widehat{BKC} = 57,41\) độ

Phương pháp 2:
Ta sẽ sử dụng định lí cosin trong tam giác SCD:
\(SD^2 = SC^2 + CD^2 - 2SC*CD*cos(\widehat{SCD})\)
Vì tam giác SCD đều nên CD = SD
=> \(SC^2 = 2SD^2 - 2SC*SD*cos(60)\)
=> \(a^2 = 2(SD^2 + SK^2) - 2SD*SK*\frac{1}{2}\)
=> \(a^2 = 3SD^2\)
=> \(SD = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Vì ta có tam giác SKD vuông tại K nên:
\(cos(\widehat{KSD}) = \frac{SK}{SD} = \frac{1}{3}\)
=> \(\widehat{KSD} = arccos(\frac{1}{3}) = 70.53\) độ

Vậy câu trả lời là d(BK;AD) = 180 - \widehat{KSD} = 180 - 70.53 = 109.47 độ

Gọi E là giao điểm của BC và (SCD). Ta có góc SCE = 60 độ, góc BAC = 30 độ, góc DCE = 60 độ, suy ra góc DCE = góc DBC = 30 độ. Vì AD là đường chéo của hình thoi nên d(BK,AD) = d(BK,AC) = d(K,AEC) = d(EC,AC) = 0.5a.

Vì SA vuông góc với (ABCD) nên góc SAB = 90 độ. Góc ABC = 120 độ nên góc BAC = 30 độ, và cũng là góc BDC. Suy ra, AD = DC = a. Vì K là trung điểm của SC nên d(BK,SC) = 0.5*SC = 0.5a.

Ta có: góc ABC = 120 độ = góc ADB. Vì hình thoi nên góc BAD = 30 độ. Ta có AK song song với DB (do K là trung điểm của SC). Khi đó, d(BK,AD) = d(BK,AB) + d(AB,AD) = 0.5a + 0.5a = a.