Bài 4. (2,5 điểm ) Cho hình chữ nhật $A B C D$ tâm $O$, có $A B=4 ; \, A D=2$. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn $C D$ sao cho $D M=2 M C$. 1) Chứng minh $\overrightarrow{A M}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A C}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A D}$. 2) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{A C}. \overrightarrow{A D}$. 3) Gọi $P$ là điểm thay đổi sao cho $\dfrac{1}{2 P A^{2}+P B^{2}+2 P C^{2}+P D^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Xác định vị trí của điểm $P$ khi đó.
Xin lỗi làm phiền, nhưng Mọi người có thể giúp tôi giải đáp vấn đề này không? Tôi đang cần một chút sự giúp đỡ.

Để giải bài toán trên, ta sẽ làm các bước sau:

1) Gọi $N$ là trung điểm của $CM$. Ta có $MN = \dfrac{1}{2}CD = 1$. Ta cần chứng minh $\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.
Do $\triangle OCN$ và $\triangle OAM$ đồng dạng, ta có $\dfrac{AM}{OM} = \dfrac{AC}{OC} = \dfrac{MC}{NC} = \dfrac{1}{2}$. Từ đó suy ra $\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

2) Để tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD}$, ta có $\overrightarrow{AC} . \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AC}|.|\overrightarrow{AD}|.\cos{\alpha}$ với $\alpha$ là góc giữa hai vector. Vì $\overrightarrow{AC}$ = $\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ và $\overrightarrow{AD}$ = $\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, nên ta dễ dàng tính được tích vô hướng là $4*0 + 0*2 = 0$.

3) Để tìm vị trí của điểm $P$, ta cần đưa điều kiện $\dfrac{1}{2PA^{2}+PB^{2}+2PC^{2}+PD^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất về dạng chuẩn. Ta có $\overrightarrow{PA} = \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{PB} = \begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{PC} = \begin{pmatrix} x_C \\ y_C \end{pmatrix}$ và $\overrightarrow{PD} = \begin{pmatrix} x_D \\ y_D \end{pmatrix}$.
Sau đó, ta lập phương trình và tối ưu hàm số $\dfrac{1}{2x^2 + y^2 + 2(x-4)^2 + (y-2)^2}$ để tìm vị trí của điểm $P$.

Vậy, sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ có câu trả lời cho câu hỏi 3.

{
"content1": "1) Ta có $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D M}=(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D C})+\overrightarrow{M C}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{A C}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{A D}$",
"content2": "2) Tích vô hướng $\overrightarrow{A C}\cdot\overrightarrow{A D}=|\overrightarrow{A C}||\overrightarrow{A D}|\cos{\theta}=4\times2\times(\cos{0^{\circ}})=8$",
"content3": "3) Đặt $P$ có tọa độ $(x, y)$, ta có $PA^2=x^2+y^2, PB^2=(x-4)^2+y^2, PC^2=(x-4)^2+(y-2)^2, PD^2=x^2+(y-2)^2$.",
"content4": "Từ đó, $\dfrac{1}{2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2}=\dfrac{1}{2(x^2+y^2)+(x-4)^2+y^2+2((x-4)^2+(y-2)^2)+x^2+(y-2)^2}$",
"content5": "Đạo hàm của biểu thức trên theo $x$ và $y$, giải hệ phương trình $\dfrac{\partial}{\partial x}=0$ và $\dfrac{\partial}{\partial y}=0$ để tìm vị trí của điểm $P$.",
"content6": "Kết quả là vị trí của điểm $P$ là tọa độ $(4, 1)$."
}

4) Khi $P$ nằm ở tâm của hình chữ nhật $ABCD$, giá trị của $\dfrac{1}{2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2}$ sẽ đạt giá trị lớn nhất, là $\dfrac{1}{18}$. Do đó, vị trí của điểm $P$ cần tìm chính là tâm của hình chữ nhật $ABCD$.

3) Để $\dfrac{1}{2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2}$ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2$. Khi đó, ta cần xác định vị trí của điểm $P$ sao cho $P$ nằm ở tâm của hình chữ nhật $ABCD$.

2) Tích vô hướng của $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$ là: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AC}|.|\overrightarrow{AD}|\cos\alpha=4.2\cos\alpha=8\cos\alpha$.