Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD ĐT Đắk Lắk (ngày 2)

Nội dung Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD ĐT Đắk Lắk (ngày 2) Bản PDF

Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2)

Ngày thi: Thứ Tư ngày 23 tháng 09 năm 2020

Địa điểm: sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đắk Lắk

Kỳ thi để chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán

Đề thi lập đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Đắk Lắk (ngày 2) bao gồm 04 bài toán và thời gian làm bài là 180 phút.

Bài 1:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho đa thức $f_n(x) = x^{2n+2} - 2(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 \cdot x^{n+1} + (a_1^4 + a_2^4 + \ldots + a_n^4 + 1)$ có ít nhất một nghiệm nguyên.

Bài 2:

Cho a, b là hai số nguyên dương sao cho $\frac{a + b^3}{a^2 + 3ab + 3b^2 - 1}$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $a^2 + 3ab + 3b^2 - 1$ chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.

Bài 3:

Cho tam giác ABC, đường tròn (O) cắt cạnh BC tại hai điểm D, E; cắt cạnh CA tại F, G; cắt cạnh AB tại H, I. Gọi M là giao điểm của DF và EI, N là giao điểm của EG và FH, P là giao điểm của GI và HD. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, BN và CP đồng quy.