Bài tập 6.4 trang 9 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho x,y là các số thực dương. Rút...

Để giải bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

**Giải phần a):**
Để rút gọn biểu thức A, ta sử dụng công thức a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

Ta có:
A = \frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}
= \frac{(x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}})(\sqrt[6]{x} - \sqrt[6]{y})}{(\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y})(\sqrt[6]{x} - \sqrt[6]{y})}
= \frac{x^{\frac{2}{6}}y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}\sqrt[6]{x} - y^{\frac{1}{3}}\sqrt[6]{y}}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}}
= \frac{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}\sqrt[6]{x} - y^{\frac{1}{3}}\sqrt[6]{y}}{1}
= x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3}(\sqrt[6]{y} - \sqrt[6]{x}).

**Giải phần b):**
Để rút gọn biểu thức B, ta biến đổi để các cơ số giữa x và y giống nhau.

Ta có:
B = \left(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}
= \left(\frac{x^{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}}{y^{\sqrt{3}-1}(\sqrt{3}+1)}\right) \cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}
= \frac{x^3}{y^{\sqrt{3}+1}} \cdot \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}
= \frac{x^{3-\sqrt{3}-1}}{y^{\sqrt{3}+1-(-2)}}
= \frac{x^{2-\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}+3}}.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a) $A = x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3}(\sqrt[6]{y} - \sqrt[6]{x})$
b) $B = \frac{x^{2-\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}+3}}$.