Bài tập 4. Chọn ngẫu nhiên 10 số tự nhiên từ dãy các số tự nhiên từ 1 đến 100. Xác định biến cố đôi...

Để giải bài toán trên, ta cần tính xác suất của từng biến cố.

Xác định số số lẻ từ 1 đến 100: Trong dãy số từ 1 đến 100 có tổng cộng 50 số lẻ.

a) Xác định xác suất của biến cố $A$: “Có ít nhất 3 số lẻ trong 10 số được chọn”
Ta có thể chọn 10 số tự nhiên từ 1 đến 100 theo ${100 \choose 10}$ cách.
Để chọn ít nhất 3 số lẻ, có thể có 3 số lẻ, 4 số lẻ, 5 số lẻ, 6 số lẻ, 7 số lẻ, 8 số lẻ, 9 số lẻ hoặc 10 số lẻ.
Số cách chọn 3 số lẻ từ 50 số lẻ là ${50 \choose 3}$. Và số cách chọn 7 số chẵn từ 50 số chẵn là ${50 \choose 7}$.
Do đó, xác suất của $A$ là: $$P(A) = \frac{{50 \choose 3} \times {50 \choose 7}}{{100 \choose 10}}$$

b) Xác định xác suất của biến cố $B$: “Tất cả 10 số được chọn đều là số chẵn”
Với biến cố $B$, chỉ có thể chọn tất cả 10 số chẵn từ 50 số chẵn có sẵn.
Số cách chọn 10 số chẵn từ 50 số chẵn là ${50 \choose 10}$.
Xác suất của $B$ là: $$P(B) = \frac{{50 \choose 10}}{{100 \choose 10}}$$

c) Xác định xác suất của biến cố $C$: “Có không quá 5 số chẵn trong 10 số được chọn”
Ta tính xác suất phủ định của biến cố $C$: “Có không quá 5 số chẵn trong 10 số được chọn” là: “Có ít nhất 6 số chẵn trong 10 số được chọn”.
Với biến cố $C$, chỉ có thể chọn 6, 7, 8, 9 hoặc 10 số chẵn từ 50 số chẵn có sẵn.
Số cách chọn 6 số chẵn từ 50 số chẵn là ${50 \choose 6}$. Và số cách chọn 4 số lẻ từ 50 số lẻ là ${50 \choose 4}$.
Do đó, xác suất của $C$ sẽ là: $$P(C) = \frac{{50 \choose 6} \times {50 \choose 4}}{{100 \choose 10}}$$

Vậy câu trả lời cho câu hỏi ban đầu là:
$$\overline{A}: “Có không quá 2 số lẻ trong 10 số được chọn$$
$$\overline{B}: “Có ít nhất 1 số được chọn là số lẻ”$$
$$\overline{C}: “Có ít nhất 6 số chẵn trong 10 số được chọn”$$