Bài tập 4.8. Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt...

Phương pháp giải:

a) Ta có ABCD là hình bình hành, nên O là trung điểm của AC. Ta lại có MO cắt AD tại N. Khi đó, ta sẽ chứng minh rằng O cũng là trung điểm của MN bằng cách chứng minh hai tam giác ODN và OBM đồng dạng.

- Ta có OD = OB (vì O là trung điểm của AC và AB)
- $\angle DON = \angle BMO$ (do cùng chính giữa với AD và BC)
- $\angle NDO = \angle MBO$ (vì $\angle ADO = \angle CBO$)

Từ các thông tin trên, ta có $\triangle ODN = \triangle OBM$ (theo góc - cạnh - góc).
Do đó, ON = OM. Vậy O là trung điểm của MN.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Với điều kiện NH là hình bình hành, ta chứng minh G cũng là trọng tâm của tam giác MNC.

- Ta biết trọng tâm G của tam giác BCD thỏa mãn $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

- Xét $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{0}$

Vì O là trung điểm của MN (đã chứng minh ở phần a), và O là trung điểm của BD (do BD là đường chéo của NH), nên BMDN là hình bình hành. Do đó, $\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{0}$.

Thay vào phương trình trước, ta có $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$, suy ra G là trọng tâm của tam giác MNC.

Vậy, ta đã chứng minh được O là trung điểm của MN và G là trọng tâm của tam giác MNC.