Bài tập 4.56. Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh...

Để giải bài toán, ta có thể sử dụng phương pháp hình học và phương pháp toán học:
1. Phương pháp hình học:
- Vẽ tam giác ABC đều và lấy M, N, P theo yêu cầu.
- Vẽ AM và NP, gọi G là giao điểm của AM và NP.
- Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
- Do tam giác ABC đều nên AH là đường cao, AH chia tam giác ABC thành 2 tam giác vuông cân.
- Sử dụng định lí Euclid về tam giác vuông cân ta suy ra $\frac{AP}{AB} = \frac{AG}{AC} = \frac{AG}{AH} = \frac{GH}{AH}$.
- Từ hai tam giác vuông cân thì AG = GH, AH = 2AG và NH = AG.
- Áp dụng vào tỉ số trên ta có $\frac{AP}{AB} = \frac{5}{12}.$
2. Phương pháp toán học:
- Đặt AP = x với 0 < x < 1.
- Xác định các vectơ $\overrightarrow{PN}$ và $\overrightarrow{AM}$.
- Sử dụng điều kiện AM $\perp$ NP để tính x.
- Giải phương trình để tìm x và suy ra tỉ lệ cần tìm.
Vậy kết quả là tỉ số $\frac{AP}{AB} = \frac{5}{12}.$