Bài tập 4.5. Cho tam giác ABC không vuông, với trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường kính...

Phương pháp giải:
a) Ta có $\widehat{ABA'} = \widehat{ACA'} = 90^{o}$ do AA' là đường kính của đường tròn (O).
Khi đó, suy ra A'C vuông góc với AC và A'B vuông góc với AB.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH vuông góc với AC và CH vuông góc với AB.
Do đó, tứ giác BHCA' là hình bình hành.
Vậy, từ đó ta có $\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{A'C}$.

b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Ta có O là trung điểm của đoạn thẳng AA' vì AA' là đường kính của đường tròn (O).
Vì BHCA' là hình bình hành, nên M cũng chính là trung điểm của đoạn thẳng HA'.
Do đó, OM là đường trung bình của tam giác AHA'.
Từ đó, ta có OM // AH và OM = $\frac{1}{2}$AH.
Vậy nên $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng và độ dài của $\overrightarrow{AH}$ gấp đôi độ dài của $\overrightarrow{OM}$.

Vậy, câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn cho câu hỏi trên là:
a) $\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{A'C}$.
b) $\overrightarrow{AH}$ và $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng, và độ dài của $\overrightarrow{AH}$ gấp đôi độ dài của $\overrightarrow{OM}$.