Bài tập 10 trang 128 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a...

a) Phương pháp giải:

Để chứng minh MNPQ là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của hình thang là song song và bằng nhau.

- Gọi I là giao điểm của QM và NP. Ta chứng minh được I nằm trên đường thẳng SD (từ cách chứng minh trong phương pháp giải trên).
- Đồng thời, ta chứng minh được SI// AB// CD.

Xét tam giác IMN và tam giác SAD:
- IM = SA = a (cạnh của hình thoi)
- MN = AD = a (cạnh của hình thoi)
- IN = SD (do SIND là hình bình hành, suy ra IN = SD)

Như vậy ta có tam giác IMN và SAD đều có các cạnh bằng nhau, tức là cặp cạnh đối của hình thang MNPQ là bằng nhau.
Do đó, MNPQ là hình thang cân.

b) Tính diện tích MNPQ:
Diện tích tam giác IMN:
S(ΔIMN) = 1/2 * IM * MN * sin(∠MIN) = 1/2 * a * a * (sin 60°) = √3/4 a^2

Tính diện tích tam giác IQP:
Ta có: IQ = x
S(ΔIQP) = 1/2 * IQ * NP * sin(∠I) = 1/2 * x * NP * sin(∠I)
Nhưng ta cũng đã chứng minh được ∠I = 60° trong phương pháp giải.
Vậy: S(ΔIQP) = 1/2 * x * NP * sin 60° = √3/4 x^2

Diện tích hình thang MNPQ:
S(MNPQ) = S(ΔIMN) - S(ΔIQP) = √3/4 (a^2 - x^2)

Vậy diện tích của hình thang MNPQ là √3/4 (a^2 - x^2), với a là cạnh của hình thoi và x là độ dài AM.