Bài 9 :Cho tam giác ABC và các điểm B’, C’ trên cạnh AB và AC. Chứng...

Để chứng minh $\frac{S_{ABC}}{S_{AB'C'}} = \frac{AB \cdot AC}{AB' \cdot AC'}$, ta có thể giải bài toán như sau:

Phương pháp 1:
Gọi H là giao điểm của BB' và CC'. Áp dụng định lí Ceva ta có:

$\frac{BH}{HB'} \cdot \frac{B'C'}{C'A} \cdot \frac{AC}{CA'} = 1$

$\Rightarrow \frac{BH}{HB'} = \frac{AC \cdot CA'}{AB' \cdot AC'}$

Khi đó diện tích của tam giác ABC và tam giác AB'C' có thể được tính bằng công thức $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$ và $S' = \frac{1}{2} \cdot AB' \cdot AC' \cdot \sin A$.
Vậy ta có:

$\frac{S_{ABC}}{S_{AB'C'}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A}{\frac{1}{2} \cdot AB' \cdot AC' \cdot \sin A} = \frac{AB \cdot AC}{AB' \cdot AC'}$

Phương pháp 2:
Sử dụng định lí Sin trong tam giác ABC và tam giác AB'C', ta có:

$\frac{AB}{\sin{\angle C}} = \frac{AC}{\sin{\angle B}} = \frac{BC}{\sin{A}}$
$\frac{AB'}{\sin{\angle C}} = \frac{AC'}{\sin{\angle B}} = \frac{B'C'}{\sin{A}}$

Khi đó, $\frac{S_{ABC}}{S_{AB'C'}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \frac{\sin A}{AB' \cdot AC' \cdot \sin A} = \frac{AB \cdot AC}{AB' \cdot AC'}$

Vậy, $\frac{S_{ABC}}{S_{AB'C'}} = \frac{AB \cdot AC}{AB' \cdot AC'}$ là đpcm.