Bài 65* : Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh rằng

Phương pháp giải:

Ta chứng minh bằng định lí trọng tâm trong tam giác:

1. Định lí trọng tâm trong tam giác:
Trọng tâm của tam giác là điểm giao điểm của ba điều giác đồng phân của tam giác đó.

2. Bước chứng minh:
Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của tam giác MAB, MBC, và MCA. Theo định lí trọng tâm trong tam giác, ta có:

- Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC => AG chia đôi đường thẳng MK tại N, BG chia đôi đường thẳng ML tại P, và CG chia đôi đường thẳng MJ tại Q.

- Tam giác ANP là tam giác đồng dạng với tam giác ABC.

- Do đó, AG/AN = AG/AI = 1/2.

- Như vậy, ta có điều chỉ minh định lí này đúng với mọi điểm M trong mặt phẳng, không chỉ với I, J, K.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi "Bài 65*: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác. Với mọi điểm M, chứng minh rằng ..." là: "Với mọi điểm M trong mặt phẳng, ta có AG/AN = BG/BP = CG/CQ = 1/2".