Bài 61 : Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thoả mãn BM =...

Để giải bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Vẽ tam giác ABC đều cạnh a. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc tia BC và CA sao cho BM = 1/3 BC, CN = 5/4 CA.
Bước 2: Kẻ đường cao CH của tam giác ABC, giao tại H với AB.
Bước 3: Gọi x = CM, ta có CN = 5/4 CA = 5/4(2x) = 5x/2. Do tam giác CNH vuông tại N nên theo định lý Pythagore ta có NH^2 = CH^2 - CN^2 = ((√3)/2 a)^2 - (5x/2)^2 = x^2.
Bước 4: Lập phương trình với BM = 1/3 BC ta có CM = 3x. Do tam giác CHM vuông tại H nên theo định lý Pythagore ta có CH^2 = CM^2 + HM^2 = (3x)^2 + x^2 = 10x^2.
Bước 5: Giải hệ phương trình NH^2 = x^2 và CH^2 = 10x^2 ta có x = a/√3. Do đó CN = 5x/2 = 5a/2√3.
Bước 6: Tính diện tích tam giác ABC theo công thức S = (a^2√3)/4.
Bước 7: Tính diện tích tam giác HCN và tam giác BHM. Khi đó diện tích tam giác HMN là diện tích tam giác ABC trừ đi tổng diện tích hai tam giác HC
Và BMH.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là diện tích tam giác HMN là (a^2√3)/17.