Bài 56* : Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A', B', C' không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt...

Phương pháp giải:

Để chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm, ta cần chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC cũng là trọng tâm của tam giác A'B'C'.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB trong tam giác ABC. Ta có trọng tâm G của tam giác ABC là giao điểm của các đường thẳng AM, BN và CP.

Ta cũng có trọng tâm G' của tam giác A'B'C' là giao điểm của các đường thẳng A'M', B'N' và C'P' (với M', N', P' lần lượt là trung điểm của các cạnh A'C', B'A' và C'B' của tam giác A'B'C').

Để chứng minh G = G', ta sẽ chứng minh rằng G thuộc đường thẳng A'M', BN' và CC'.

- Ta có:
AA'/AB = BB'/BC = CC'/CA = k (hằng số)

- Vì A'A'' = (1 - k) * AA', ta suy ra: M'P' = (1 - k) * MP

- Chứng minh G thuộc đường thẳng A'M':
Thật vậy, ta có: G = (A + M + A') / 3 = (2A + M + A') / 3 = (2M + M'P') / 3
Suy ra, G thuộc đường thẳng A'M'.

Tương tự, ta chứng minh được G thuộc đường thẳng BN' và C'C'. Vậy ta kết luận được rằng G và G' trùng nhau, tức là trọng tâm của tam giác ABC cũng là trọng tâm của tam giác A'B'C'.

Vậy hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Câu trả lời: Chứng minh trên đã chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.