6.31.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:...

Để giải phương trình $\sqrt{2x^{2}+x+1}=\sqrt{x^{2}+mx+m-1}$, ta bắt đầu bằng cách bình phương hai vế của phương trình, ta được:
$2x^{2}+x+1 = x^{2}+mx+m-1$

Simplifying:
$x^{2} + (1-m)x + 2-m = 0$

Tiếp theo, ta xét tam thức bậc hai $f(x) = 2x^{2}+x+1$. Vì $a = 2 > 0$ và $∆f = -7 < 0$, nên $f(x) > 0$ với mọi số thực x. Từ đó suy ra $x^{2} + mx + m - 1 > 0$ với mọi số thực x.

Vì vậy, phương trình ban đầu $\sqrt{2x^{2}+x+1} = \sqrt{x^{2}+mx+m-1}$ chỉ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $ x^{2} + (1-m)x + 2-m = 0$ có nghiệm.

Tiếp tục giải phương trình bậc hai $x^{2} + (1-m)x + 2-m = 0$, ta tính được $∆ = m^{2} + 2m - 7$.

Để phương trình có nghiệm, ta cần $∆ \geq 0$, từ đó thu được $m^{2} + 2m - 7 \geq 0$. Giải phương trình bậc hai ẩn m ta có $m_{1} = -1 + 2\sqrt{2}$ và $m_{2} = -1 - 2\sqrt{2}$.

Vậy nên, phương trình ban đầu có nghiệm khi $m \geq -1 + 2\sqrt{2}$ hoặc $m \leq -1 - 2\sqrt{2}$.