4. Cho parabol (P): y = m$x^{2}$ và đường thẳng (d): y = nx + 4. Xác định m, n để (P) và (d) tiếp...

Để giải bài toán trên, ta cần thực hiện các bước sau:
1. Xác định m và n để parabol (P) và đường thẳng (d) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x = -2.5.
- Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) tại điểm có hoành độ x = -2.5 khi phương trình m$x^{2}$ = nx + 4 có nghiệm kép x = -2.
- Giải hệ phương trình m(-2)^2 - n(-2) - 4 = 0 và n^2 = 4m để suy ra m = -1 và n = 4.
2. Xác định m và n để đường thẳng y = mx + n đi qua điểm A(-1; 0) và tiếp xúc với parabol.
- Đường thẳng y = mx + n đi qua A khi n = m.
- Đường thẳng tiếp xúc với parabol khi phương trình $\frac{1}{2}x^{2}$ = mx + m có nghiệm kép.
- Giải phương trình $x^{2}$ - 2mx - 2m = 0 và m(m + 2) = 0 để suy ra m = 0 hoặc m = -2.
- Với m = 0, đường thẳng là y = 0 (trục hoành), tiếp điểm là O(0; 0).
- Với m = -2, tiếp tuyến có phương trình y = -2x - 2, tiếp điểm là B(-2; 2).

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là:
1. Để (P) và (d) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x = -2.5, m = -1 và n = 4.
2. Để đường thẳng đi qua điểm A(-1; 0) và tiếp xúc với parabol, có hai trường hợp:
- Nếu m = 0, n = 0 và tiếp điểm là O(0; 0).
- Nếu m = -2, n = -2 và tiếp điểm là B(-2; 2).