32.Cho ba điểm A(- 2; 2), B(7; 5), C(4; - 5) và đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0.a) Tìm tọa độ...

Phương pháp giải:

a) Ta có:
- Đường thẳng ∆: 2x + y – 4 = 0.
- M thuộc ∆ nên tọa độ của M là M(t; 4 – 2t).
- Khoảng cách từ M đến A cũng bằng khoảng cách từ M đến B.

Từ đó, ta có hệ phương trình:
$\sqrt{(t+2)^{2}+(2-2t)^{2}}=\sqrt{(t-7)^{2}+(-1-2t)^{2}}$

Giải hệ phương trình trên ta được tọa độ của M là M(7; -10).

b) Ta có công thức tính độ dài của vector:
$|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}|=\sqrt{(9-3m)^{2}+(6m-10)^{2}}$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}|$, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(9-3m)^{2}+(6m-10)^{2}$. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$A=45m^{2}-174m+181=45(m-\frac{29}{15})+\frac{64}{5}\geq\frac{64}{5}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}|$ là $\frac{8}{\sqrt{5}}$, đạt được khi $m=\frac{29}{15}$.

Do đó, tọa độ của điểm N là N($\frac{29}{15}$; $\frac{2}{15}$).