2. (Đề kiểm tra chất lượng học kì I, thành phố Thái Bình, năm học 2017 - 2018)Cho đường tròn tâm O,...

a, Để chứng minh rằng $AB = 2AK$, ta áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau tại M trên đường tròn. Vì MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên MA = MB.

Ta có OA = OB (bán kính của đường tròn) nên OM là đường trung trực của AB. Do đó, K là trung điểm của AB, tức là AB = 2AK.

Tiếp theo, ta bằng chứng 5 điểm M, A, O, B, H cùng nằm trên một đường tròn bằng cách chứng minh rằng chúng đều cùng nằm trên đường tròn tâm G, với G là trung điểm của OM.

b, Để chứng minh rằng $OI \cdot OH = OK \cdot OM = R^2$, ta sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng. Ta có $\angle KOI = \angle OKI = \angle OHM = 90^\circ$, suy ra tam giác OKI đồng dạng với tam giác OHM. Từ đó, ta có $\frac{OK}{OH} = \frac{OI}{OM} = \frac{KI}{HM}$. Kết hợp với $OA^2 = OK \cdot OM$, suy ra $OH \cdot OI = OK \cdot OM = OA^2 = R^2$.

c, Để tính tỉ số $\frac{OE}{OM}$, ta xét tam giác OAM và tam giác AEN, ta có $\triangle AEN$ cân tại E và A trên đoạn ON được chia thành 2 phần bằng nhau bởi F là trung điểm của AN.

Suy ra, từ tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng, ta có $\frac{OE}{OM} = \frac{OF}{OA} = \frac{2}{3}$.

Vậy, phương pháp giải và câu trả lời cho câu hỏi đã được trình bày chi tiết.